Spannungen in Silos

Dietmar Schulze

1. Einführung

Die Kenntnis der in Silos auftretenden Spannungen ist neben der festigkeitsmäßigen Siloauslegung für viele Anwendungen notwendig:

Die Berechnungsverfahren des Verfahrenstechnikers, der z.B. an den im Silo auftretenden Maximalspannungen oder an der Abzugskraft eines Austragorgans interessiert ist, unterscheiden sich von denen des Bauingenieurs (z.B. DIN 1055-6 [1]), da die Zielsetzung häufig einen "Sicherheitszuschlag" in unterschiedlicher Richtung verlangt. So wird der Bauingenieur bei der Berechnung der Spannungen im Siloschaft seinen Ansatz und die dazugehörigen Parameter so wählen, dass rechnerisch eher ein großer Anteil des Schüttgutgewichtes in die Silowand eingeleitet wird und diese belastet (Auslegung für eine angenommene große Belastung der Silowände bedeutet mehr Sicherheit). Der Verfahrenstechniker, der z.B. die Abzugskraft berechnet und dafür die Vertikalbelastung des Austragorgans benötigt, wird eher davon ausgehen, dass die Silowände einen geringeren Anteil des Schüttgutgewichtes aufnehmen. Ein weiteres Beispiel für die unterschiedliche Sichtweise ist die Spannungsverteilung über dem Umfang des Silos: während eine stark ungleichmäßige Spannungsverteilung über dem Umfang hinsichtlich der Auslegung eines Austragorgans keine Rolle spielt, stellt sie hinsichtlich der festigkeitsmäßigen Auslegung der Silowände eine nicht zu vernachlässigende Belastung dar.

 

2. Spannungsberechnung

2.1 Das Verhalten von Schüttgütern bei der Lagerung

Bild 1 zeigt ein Schüttgutelement in einem mit Schüttgut gefüllten Zylinder (reibungsfreie Wände). In vertikaler Richtung wirkt auf das Schüttgutelement die Vertikalspannung sv. Aufgrund der Vertikalspannung sv stellt sich in der horizontalen Richtung die Spannung sh ein. Zur Beschreibung des Verhältnisses der Spannungen sv und sh zueinander benutzt man das aus der Bodenmechanik bekannte Horizontallastverhältnis l (in [1] als K bezeichnet):

Bild 1: Schüttgutelement

l = sh/sv      (1)

Die Größe des Horizontallastverhältnisses ist für jedes Schüttgut unterschiedlich. Während ein idealer, nicht elastischer Festkörper ein Horizontallastverhältnis von Null hätte und ein Fluid eines von 1, liegen übliche Werte für Schüttungen (z.B. im Silo) dazwischen, und zwar meistens im Bereich von 0,3 bis 0,6, in Ausnahmefällen auch außerhalb dieser Grenzen.

Schüttgüter werden für Rechnungen als Kontinuum betrachtet, nicht als Einzelpartikeln. Daher werden kontinuumsmechnische Betrachtungsweisen angewandt. Betrachtet man unterschiedlich geneigte Schnitte durch ein Schüttgutelement, so zeigt sich, dass dort auch unterschiedliche Schub- und Normalspannungen wirken. Hierauf deutet ja schon die Betrachtung von Bild 1 hin, die zeigt, dass die Spannungen in einem Schüttgut in unterschiedlichen Richtungen unterschiedlich sind. Es gibt jeweils eine Richtung, in der die dort wirkende Normalspannung am größten ist. Diese größte Normalspannung wird als größte Hauptspannung s1 bezeichnet. Genau senkrecht zu s1 wirkt die kleinste der in den unterschiedlichen Schnitten wirkenden Normalspannungen, die kleinste Hauptspannung s2. Über diese vereinfachende Erläuterung hinausgehende Informationen findet man z.B. in [2,4,5,7].

Bild 2: Qualitative Druck- bzw. Spannungsverläufe in Behältern (bulk solid = Schüttgut)

Im Gegensatz zu einer Flüssigkeit kann ein Schüttgut in Ruhe Schubspannungen übertragen. Während der Druck in einem Flüssigkeitsbehälter linear mit der Tiefe ansteigt (Bild 2), nimmt in einem Schüttgutbehälter die vom Schüttgut auf die Behälterwand ausgeübte Schubspannung - also die Reibung an der Behälterwand - einen Teil des Gewichtes der Schüttgutsäule auf, so dass die Spannung nicht wie der Druck in einer Flüssigkeit linear mit der Tiefe zunimmt.

Wird ein leerer Silo gefüllt, ergibt sich ein Spannungsverlauf wie im Bild 3.a gezeigt [2]. Die Wandnormalspannung sw steigt im Vertikalteil nach unten hin an, um schließlich einem Endwert zuzustreben. Im Schaft sind die Vertikalspannungen die größeren Spannungen, während sich die (kleineren) Horizontalspannungen entsprechend des Horizontallastverhältnisses l nach Glg.(1) einstellen. Die größte Hauptspannung s1 weist in der Achse in die vertikale Richtung, von der sie zu den Wänden hin zunehmend abweicht (s. Hauptspannungstrajektorien im Bild 3).

Bild 3: Qualitative Verläufe der Normalspannung auf die Silowand sw und angenommene Trajektorien der größten Hauptspannung s1 [2,3]

Am Übergang zum Trichter liegt eine Unstetigkeitsstelle vor. Im weiteren Verlauf des Trichters kann die Spannung je nach Geometrie und Schüttguteigenschaften nach unten hin weiter steigen, aber auch sinken (oder zunächst steigen und anschließend wieder sinken). Diesen Spannungszustand, der sich nach dem Füllen eines Silos ergibt, bezeichnet man als "aktiven Spannungszustand" oder "Füllzustand". Die größeren Spannungen weisen auch im Trichter im aktiven Spannungszustand in die vertikale Richtung (größte Hauptspannung in der Trichterachse vertikal).

Bei beginnendem Schüttgutabzug kommt in einem Massenflusssilo das gesamte Schüttgut in Bewegung und der Spannungszustand im Trichter ändert sich: Ausgehend von der Trichterspitze bildet sich der sogenannte "passive Spannungszustand" aus. Das Fließen des Schüttgutes durch den konvergenten Trichter führt dazu, dass das Schüttgut in horizontaler Richtung "zusammengedrückt" wird, während es in vertikaler Richtung durch das Fließen nach unten entlastet wird. Daher wirken nun die größeren Spannungen in die horizontale Richtung (größte Hauptspannung in der Trichterachse horizontal). Im Bild 3.b, das den Zustand unmittelbar nach dem Entleerungsbeginn zeigt, liegt der passive Spannungszustand erst im unteren Teil des Trichters vor, im Bild 3.c (etwas später als Bild 3.b) ist er voll ausgebildet. Man spricht in diesem Fall auch vom "Entleerungszustand". Im Vertikalteil des Silos bleibt der aktive Spannungszustand erhalten, sofern dort keine örtlichen Konvergenzen (Verengungen des Querschnitts durch Einbauten, Beulen, etc.) vorhanden sind. Am Übergang vom aktiven zum passiven Spannungsfeld (im Massenflusssilo stets am Übergang Schaft/Trichter) entsteht eine lokale Spannungsspitze, die als "switch" bezeichnet wird. Bei einer Unterbrechung des Schüttgutabzuges bleibt im Trichter der passive Spannungszustand erhalten.

In einem Kernflusssilo fließt das Schüttgut innerhalb der sich ausbildenden toten Zone nach unten. Trifft die tote Zone wie im Bild 3.d im Bereich des Siloschaftes auf die Wand, bildet sich dort ebenfalls aufgrund des an dieser Stelle einsetzenden konvergenten Schüttgutflusses eine Spannungsspitze. Die Position der Spannungsspitze ist nicht vorausberechenbar, sodass bei der festigkeitsmäßigen Berechnung der Silowände im gesamten Siloschaft das mögliche Auftreten einer Spannungsspitze einbezogen werden muss.

Während im Bild 3 die Normalspannung auf die Trichterwand (Wandnormalspannung sw) betrachtet wurde, zeigt Bild 4 qualitativ den Verlauf der Vertikalspannung sv für den Füllzustand (a) und den Entleerungszustand (b). Der Spannungszustand im Bild 4.a entspricht dem im Bild 3.a (aktiv), der im Bild 4.b dem im Bild 3.c (passiv). Die Vertikalspannung sv verläuft im Schaft ähnlich wie die Wandnormalspannung sw. Der Verlauf der Vertikalspannung im Trichter ist im Füllzustand von der Auflast (Vertikalspannung am Übergang vom Schaft zum Trichter), den Schüttguteigenschaften und der Trichtergeometrie abhängig; die im Bild 4.a eingezeichnete Kurve ist als ein möglicher Verlauf zu betrachten. Im Entleerungszustand sinkt die Vertikalspannung nach unten hin stark ab, wobei die Vertikalspannung im unteren Trichterbereich proportional zum Abstand zur gedachten Trichterspitze ist ("radiales Spannungsfeld", engl. "radial stress field"). Die Vertikalspannung an der Auslauföffnung ist im Entleerungszustand (bei hinreichender Höhe des Trichters) unabhängig von der Spannung, die am oberen Ende des Trichters wirkt.

Bild 4: Qualitativer Verlauf der Vertikalspannung sv im Füllzustand (a) und im Entleerungszustand bei Massenfluss (b)

Unmittelbar nach dem Füllen (Füllzustand, aktiver Spannungszustand, "filling") ist die Vertikalspannung an der Auslauföffnung größer als im Entleerungszustand (passiver Spannungszustand, "discharging")  [4, 6-9] (in Experimenten wurden im Füllzustand bis zu 10mal größere Vertikalspannungen an der Auslauföffnung als im Entleerungszustand gemessen [4,7]). Im Bild 5 (oben) ist das Füllen und Entleeren eines Silos anhand der Füllhöhe hf über der Zeit dargestellt. Sobald nach dem Füllen des leeren Silos das erste Mal Schüttgut abgezogen wird, stellt sich der Entleerungszustand ein, wobei die Vertikalspannung sv an der Auslauföffnung schlagartig absinkt (Bild 5 mitte). Das heißt, nach dem Füllen muss das Austragorgan zunächst in der Lage sein, das Schüttgut unter einer großen Vertikalspannung sv zu bewegen und dazu eine entsprechend große Abzugskraft Fh aufzubringen (Bild 5 unten). Sobald das Schüttgut in Bewegung gekommen ist, stellt sich im Trichter innerhalb kurzer Zeit der Entleerungszustand mit der niedrigeren Vertikalspannung sv (und damit kleineren Abzugskraft Fh) ein.

Bild 5: Zeitlicher Verlauf von Füllhöhe hf, Vertikalspannung sv und Abzugskraft Fh 

2.2 Berechnungsverfahren (Übersicht)

Anhand der vorangegangenen Betrachtungen wird deutlich, dass für die Berechnung der Spannungsverläufe in Silos folgende drei Fälle betrachtet werden müssen:

Spannungen in Silos werden seit über 100 Jahren experimentell und theoretisch untersucht. Nachdem zunächst die Spannungen im Siloschaft betrachtet wurden (Janssen [10], Koenen [11]), folgten später Arbeiten, die auch den Spannungsverlauf im Trichter berücksichtigen. Die bekanntesten dieser Arbeiten sind die von Jenike [4,12], Walker [13,14] und Walters [15,16]. Die ersten theoretischen Ansätze beruhten auf Scheibenelementverfahren, bei denen das Kräftegleichgewicht an einem Scheibenelement infinitesimaler Dicke im Siloschaft [10,15] bzw. im Trichter [13,14,16] betrachtet wurde.

Die von Jenike entwickelte Berechnungsmethode [4,12] beschreibt die Spannungen, die sich während des Entleerens (Entleerungszustand bzw. passiver Spannungszustand) im Trichter ausbilden, mit Hilfe von Differentialgleichungen, die er mit der Charakeristikenmethode löste. Seine Berechnungsmethode erlaubt zudem die Auslegung von Silos, indem die für Massenfluss notwendige Trichterwandneigung und die Mindestauslaufgröße zur Vermeidung von Brücken- oder Schachtbildung bestimmt wird. Um die Benutzung seiner Methode zu erleichtern, präsentierte Jenike die Ergebnisse seiner Berechnungen in Form von Diagrammen.

Unter den neueren Arbeiten sind die von Enstad [17] und Benink [18] zu nennen, die die Spannungen im Trichter während des Entleerens mit Hilfe von Scheibenelementmethoden berechneten, also auf einfacherem Wege als Jenike mit der Charakteristikenmethode. Zur Berechnung der Spannungen im Füllzustand folgten u.a. die Arbeiten von Motzkus [19], der die Annahmen von Walker und Walters als unrealistisch erkannte und verbesserte Annahmen einführte. Eine von Schulze [7] hergeleitete Scheibenelementmethode zur Berechnung der Spannungen im Trichter im Füllzustand berücksichtigt die Kompressibilität des Schüttgutes.

In neueren Arbeiten wird auch die Methode der finiten Elemente (FEM) zur Spannungsberechnung eingesetzt [z.B. 20-22], wobei die Stoffeigenschaften in Form von Stoffmodellen (auch Stoffgesetze genannt) vorgegeben werden. Die verwendeten Stoffmodelle beschreiben die Abhängigkeit von Verformungen und Spannungen in einem Schüttgut (ein Beispiel für ein sehr einfaches Stoffmodell ist das Hooke'sche Gesetz).

Für praktische Berechnungen haben sich bis jetzt neben den Diagrammen von Jenike, die zur Berechnung der Spannungen im Trichter im Entleerungszustand und zur verfahrenstechnischen Siloauslegung benutzt werden, vor allem die Scheibenelementmethoden wegen ihrer relativ einfachen Handhabbarkeit durchgesetzt. So basieren mehrere Normen [1,23,24] zur festigkeitsmäßigen Auslegung der Silowände im Siloschaft auf den Gleichungen Janssens, die durch geeignete Wahl der Parameter an die Verhältnisse im Silo angepasst wird. Für die Berechnung der Spannungen im Trichter im Füllzustand (aktiver Spannungszustand) liefert die Scheibenelementmethode von Motzkus brauchbare Ergebnisse [7,19], für den Entleerungszustand sind die von Enstad [17] hergeleiteten Beziehungen anwendbar.

Im Rahmen dieses Aufsatzes wird die Ermittlung der Spannungen im Siloschaft nach der von Janssen [10] hergeleiteten Methode beschrieben.  Diese Methode wird auch im Program SSTOOL [44] verwendet.

 

2.3 Berechnung der Spannungen im Siloschaft

Die Spannungen im Siloschaft (aktiver Spannungszustand) berechnete Janssen [10] mit Hilfe einer Scheibenelementmethode. Er betrachtete ein scheibenförmiges Volumenelement der infinitesimalen Höhe dz (Bild 6), das den ganzen Siloquerschnitt überspannt. Unter der Annahme einer konstanten Vertikalspannung sv über dem Querschnitt und konstanter Schüttgutdichte rb ergibt sich folgendes Kräftegleichgewicht in z-Richtung:

      (2)

Bild 6: Scheibenelement im Siloschaft

Nach Einführung des Wandreibungswinkels

    (3)

und des Horizontallastverhältnisses (s. Abschnitt 2.1)

     (4)

ergibt sich eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Vertikalspannung sv:

    (5)

Aus der Integration der Differentialgleichung mit der Randbedingung, dass die Vertikalspannung bei z=0 gleich sv0 ist, folgt:

     (6)

Für die Randbedingung, dass die Spannung an der Schüttgutoberfläche gleich Null ist (sv0 = 0 bei z = 0), folgt aus Glg.(6):

      (6.a)

Horizontalspannung sh und Wandschubspannung tw erhält man durch einfache Umformung der Glgn. (3) und (4) aus Glg.(6):

            (6.b)

     (6.c)

Für große Werte von z strebt die e-Funktion in den Glgn.(6) bis (6.c) gegen Null. Damit ist der Ausdruck vor der Klammer der Endwert von sv, der bei den gegebenen Werten von Geometrie und Schüttguteigenschaften erreicht wird. Der Endwert ist (bei einem hinreichend hohen Silo) unabhängig von der Silohöhe und der Auflast sv0 und hängt neben den Schüttguteigenschaften vom Verhältnis A/U ab. In einem zylindrischen Silo ist das Verhältnis A/U = d/4 (d = Silodurchmesser). Das bedeutet, dass die maximal möglichen Spannungen im Siloschaft (Glgn.(6.a) bis (6.c)) proportional zum Durchmesser sind. Aus diesem Grund baut man Silos in der Regel schlank und hoch, während man Flüssigkeitsbehälter (z.B. Öltanks) wegen des hydrostatischen Druckanstiegs flach und mit großem Durchmesser ausführt.

In zahlreichen experimentellen Untersuchungen wurde die prinzipielle Gültigkeit der sogenannten "Janssen-Gleichung" (6.a) nachgewiesen, z.B. [2,25-27]. Die Janssen-Gleichung liegt wegen ihrer prinzipiellen Gültigkeit zahlreichen Normen zur Berechnung der Spannungen in Silos zugrunde (z.B. [1,23,24]). Janssen bestimmte den Wert des Horizontallastverhältnisses durch Anpassung der Gleichung (6) an die von ihm im Modellsilo gemessenen Spannungen.

Zur Abschätzung des Horizontallastverhältnisses wird häufig eine von Kézdi [28] vorgeschlagene Gleichung benutzt:

     (7)

j ist der innere Reibungswinkel des Schüttgutes. Häufig setzt man hier den im Schergerät gemessenen effektiven Reibungswinkel je ein, was aber zu Fehleinschätzungen des Wertes von l führen kann [33,34]. Die frühere Deutsche Norm DIN1055 Teil 6 von 1987 [45] schlägt folgende auf Glg.(7) beruhende Beziehung vor:

(8)

Glg.(8) ergibt im oberen Silobereich "fülligere Lastkurven", d.h. größere Wandnormal- und Schubspannungen, so daß sich für die festigkeitsmäßige Siloauslegung gegenüber Glg.(7) eine auf der sicheren Seite liegende Lastannahme ergibt. Für Anwendungen zur Berechnung der Vertikalspannungen (z.B. um die Belastung eines Austragorgans zu ermitteln), sollte das kleinere l aus Glg.(7) vorgezogen werden, da es gegenüber dem aus Glg.(8) zu größeren Vertikalspannungen führt.

Für grobe Abschätzungen der Spannungen im Siloschaft empfiehlt sich der Wert [8,29]:

    (9)

Bild 7: Einachsiger Kompressionsversuch im Lambdameter

Die nach Glg.(8) entsprechend der DIN 1055 Teil 6 [1] berechneten Werte des Horizontallastverhältnisses sind nicht unbedingt richtig, da das Horizontallastverhältnis von weiteren Parametern abhängt. Ein Schritt, bei der Bestimmung mehr Sicherheit zu gewinnen, ist die Empfehlung in der aktuellen Norm [1], das Horizontallastverhältnis aus einem einachsigen Kompressionsversuch in einem abgewandelten Oedometer (Bild 7) zu ermitteln. Bei diesem in einer weiteren Arbeit von Lohnes [31] benutzten sowie von Nielsen und Kolymbas [32] vorgeschlagenen einachsigen Kompressionsversuch im Oedometer wird die Schüttgutprobe in einem Hohlzylinder in axialer Richtung einer Spannung unterworfen, während die resultierende Horizontalspannung gemessen wird. Mit diesem Versuch werden zwar nicht alle, aber wenigstens die Einflussgrößen, die allein auf den Schüttguteigenschaften beruhen, berücksichtigt. Messungen an einem für diesen Zweck gebauten abgewandelten Oedometer, dem "Lambdameter", zeigen dessen prinzipielle Anwendbarkeit zur Bestimmung des Horizontallastverhältnisses [33,34].

2.4 Berechnung der Spannungen im Trichter

Auch die Spannungen im Trichter lassen sich vereinfacht mit einer Scheibenelementmethode berechnen. Stellt man das Kräftegleichgewicht an einem Scheibenelement (Bild 8) auf, so erhält man folgende Gleichung [7,16,19,40]:

  (10)

Bitte beachten Sie die unterschiedlichen Richtungen von z beim Vertikalteil und beim Trichter.

Aus Glg.(10) folgt bei voll moblisierter Wandreibung (s. Glg. (3)):

 (11)

Dabei ist:

   (12)

 (13)

m berücksichtigt die Form des Trichters: m = 0 für keilförmige Trichter, m = 1 für konische Trichter.

Bei keilförmigen Trichtern mit geringem Verhältnis der Länge zur Breite spielen auch die Stirnwände des Trichters eine Rolle. Berücksichtigt man die Stirnwände bei keilförmigen Trichtern beim Kräftegleichgewicht, so erhält man folgende Differentialgleichung [7]:

   (11.a)

Hier ist ls das Verhältnis der auf die Stirnwand wirkenden Normalspannung zur mittleren Vertikalspannung, für das als Näherung das Horizontallastverhältnis l aus Gleichung (4) eingesetzt wird. ls ist die Länge des keilförmigen Trichters.

Je nachdem, ob der Füll- oder Entleerungszustand berechnet werden soll, haben K bzw. n unterschiedliche Werte. Das eigentliche Problem bei der Berechnung ist damit die Berechnung von K bzw. n. Die auch in [7] verwendeten Methoden nach Motzkus [19,42,43] (Füllzustand) und Arnold und McLean [41] (Entleerungszustand) ergeben realistische Abschätzungen der Spannungen im Trichter. Da die Gleichungen zum Teil recht umfangreich sind, wird hier auf die Literatur verwiesen. Im Programm SSTOOL [44] werden diese Methoden verwendet.

Bild 8: Scheibenelement im Trichter

3.   Einflüsse auf die Spannungsverteilung

3.1 Spannungsspitze am Übergang vom aktiven zum passiven Spannungszustand

Für die festigkeitsmäßige Auslegung müssen die auf die Silowände wirkenden Spannungen bekannt sein. Dieses sind zum einen die Spannungsverläufe, wie sie im Abschnitt 2 dargelegt wurden. Zum anderen ergeben sich zusätzliche Belastungen der Silowände, die z.B. durch über dem Umfang ungleichmäßige Spannungen oder durch örtliche Spannungsspitzen entstehen.

Im Abschnitt 2 wurde bereits auf die Spannungsspitze hingewiesen, die sich in einem Massenflusssilo beim Entleeren am Übergang vom Schaft zum Trichter bildet ("switch", s. Bild 3.c). Die Ursache für den "switch" lässt sich an folgender Plausibilitätsbetrachtung erläutern: Vom Schaft her wirkt auf das Schüttgut im Trichter eine relativ große Vertikalspannung sv, da die größere Hauptspannung in der Achse des Schaftes in vertikaler Richtung wirkt (aktiver Spannungszustand). Nun wird das Schüttgut beim Fließen im Trichter in horizontaler Richtung zusammengedrückt, während es nach unten hin ausweichen kann. Dadurch ist im Trichter die Horizontalspannung größer als die Vertikalspannung. Wenn nun die Vertikalspannung sv am oberen Ende des Trichters aus Gleichgewichtsgründen gleich der Vertikalspannung sv0 am unteren Ende des Schaftes ist, so ist in der Trichterachse sh größer als sv0. Die Horizontalspannung am unteren Ende des Schaftes ist dagegen mit sh = l sv0 deutlich kleiner als sv0. Damit erklärt sich der sprunghafte Anstieg der Horizontalspannung am Übergang vom Schaft zum Trichter. In dieser Plausibilitätsbetrachtung wurden nur die Spannungen in der Siloachse betrachtet, da nur dort die Horizontal- und Vertikalspannungen Hauptspannungen sind. Je mehr man von der Siloachse in Richtung zu den Wänden gelangt, um so stärker sind die Hauptspannungen gegenüber der Horizontalen und Vertikalen geneigt, wodurch sich die Verhältnisse dort etwas von denen in der Siloachse unterscheiden, was jedoch nichts an der prinzipiellen Gültigkeit der Plausibilitätsbetrachtung ändert.

Die Berechnung der Größe der Spannungsspitze ist grundsätzlich möglich, so z.B. mit der Methode von Enstad [17]. Daneben gibt es u.a. Vorschläge von Walters [15,16] und Jenike [35]. Neuere Arbeiten benutzen die Methode der Finiten Elemente (FEM, z.B. [20-22]), mit der auch der zeitliche Verlauf der Spannungen berechnet werden kann.

In Massenflusssilos tritt der "switch" stets am Übergang vom Schaft zum Trichter auf. Bei der festigkeitsmäßigen Auslegung ist dieses entsprechend zu berücksichtigen [1]. Bei Kernflusssilos tritt eine Spannungsspitze ("stress peak") dagegen dort auf, wo die Grenzlinie zwischen der toten Zone ("dead zone") und dem fließenden Schüttgut auf die Silowand trifft (Bild 9.b). Damit liegt die Spannungsspitze zum einen im empfindlicheren Schaftbereich [36], zum anderen ist der (nicht berechenbare) Ort ihres Auftretens über dem Umfang unterschiedlich hoch und auch zeitlich veränderlich, sodass der gesamte Schaftbereich entsprechend ausgelegt werden muß [1]. Einige Schüttgüter (z.B. verschiedene Zucker-Sorten) bilden in Kernflusssilos Fließbereiche mit nahezu vertikalen Grenzlinien aus, die an keiner Stelle auf die Silowand treffen und somit keine Spannungsspitze an der Silowand erzeugen (Bild 9.a).

Bild 9: Wandnormalspannungen in Kernflusssilos  a. steile Grenzlinie   b. flache Grenzlinie

3.2 Imperfektionen

Auch bei Massenfluss sind im Siloschaft örtliche Spannungserhöhungen möglich. Dieser Effekt ist auf Unregelmäßigkeiten (Imperfektionen) in der Wand des Siloschaftes zurückzuführen [35-37], d.h. ein Siloschaft verfügt in der Regel über örtliche Querschnittsverengungen. Messungen von van Zanten und Mooij [38] an einem Silo mit künstlich angebrachten Querschnittsverengungen zeigen, dass örtlich der passive Spannungszustand erreicht und die Wandnormalspannung im Bereich der Querschnittsverengung auf mehr als das Vierfache der Horizontalspannung des Füllzustandes ansteigen kann, d.h. es entsteht örtlich ein ähnlicher Effekt wie der switch.

 

3.3 Exzentrisches Entleeren

Fließt Schüttgut im Silo einseitig nach unten, spricht man vom exzentrischen Entleeren. Die Problematik des exzentrischen Entleerens besteht - neben den bekannten Nachteilen des Kernflusses - darin, dass sich im Silo eine über dem Umfang ungleichförmige Spannungsverteilung ausbildet, die im Rahmen der festigkeitsmäßigen Siloauslegung zu berücksichtigen ist. Durch die ungleichförmige Belastung der Silowände werden in diesen Biegemomente und Normalkräfte verursacht, die bei einer gleichförmigen Belastung nicht auftreten würden.

Wie ist die ungleichförmige Spannungsverteilung beim exzentrischen Entleeren zu erklären? Im Bild 10.a ist schematisch ein Siloschaft (Durchmesser d) mit einer angenommenen Fließzone (Durchmesser df) in der Draufsicht dargestellt, im Bild 10.b ist ein vertikaler Schnitt durch den Siloschaft aufgezeichnet. Das in der Fließzone nach unten fließende Schüttgut übt nicht nur auf die Silowand, sondern auch auf das in Ruhe befindliche Schüttgut (Ruhezone) nach unten gerichtete Schubspannungen aus, d.h. die Fließzone trägt einen Teil ihrer Gewichtslast auf die Silowand und das Schüttgut in der Ruhezone ab. Die Schubspannungen sind an den jeweiligen Schnittufern in ihrer Wirkungsrichtung dargestellt. Damit kann man die Fließzone als "Silo im Silo" mit dem Durchmesser df betrachten. Aus der Herleitung der Gleichung zur Beschreibung der Spannungen im Siloschaft (Abschnitt 2.3, Glg.(6)) ist bekannt, dass die in einem Silo maximal erreichbaren Spannungen proportional zu seinem Durchmesser sind. Daher herrschen in der Fließzone kleinere Spannungen als in der Ruhezone mit dem größeren Durchmesser d > df.

Bild 10: Exzentrisches Entleeren (schematisch)    a. Siloschaft (Draufsicht)     b. Längsschnitt durch den Siloschaft

Ursachen für exzentrisches Entleeren können sein:

4. Formelzeichen

A [m2] Fläche
AM [m2] Umfangsfläche enes Scheibenelementes
D [m] Durchmesser
df [m] Durchmesser der Fließzone beim exzentrischen Entleeren
Fh [N] Abzugskraft
g [m/s2] Erdbeschleunigung
h [m] Höhe
h0 [m] Höhe des Trichters von der gedachten Spitze zur Oberkante
hf [m] Füllhöhe
K [-] Verhältnis der Wandnormalspannung zur mittleren Vertikalspannung (Trichter)
n [-] Hilfsgröße zur Spannungsberechnung im Trichter
t [s] Zeit
U [m] Umfang
z [m] Höhenkoordinate
l [-] Horizontallastverhältnis
µ [-] Reibungskoeffizient
rb [kg/m3] Schüttgutdichte
s [Pa] Normalspannung
sh [Pa] Horizontalspannung
sv [Pa] Vertikalspannung
sw [Pa] Wandnormalspannung
s1 [Pa] größte Hauptspannung
s2 [Pa] kleinste Hauptspannung
tw [Pa] Wandschubspannung
j [°] innerer Reibungswinkel
je [°] effektiver Reibungswinkel
jx [°] Wandreibungswinkel
Q [°] Neigung der Trichterwände gegen die Vertikale

5. Literatur

[1] DIN 1055-6:2005-03 (2005) Einwirkungen auf Tragwerke – Teil 6: Einwirkungen auf Silos und Flüssigkeitsbehälter

[2] Martens, P. (Hrsg.): Silohandbuch, Wilhelm Ernst&Sohn Verlag, Berlin, (1988)

[3] Arnold, P.C., McLean, A.G.: Improved analytical flow factors for mass-flow hoppers, Powder Technol. 15 (1976), S. 279-281

[4] Jenike, A.W.: Storage and flow of solids, Bulletin No 123, Utah Eng. Exp. Station, Univ. of Utah, Salt Lake City, 1970

[5] Schwedes, J: Fließen von Schüttgütern in Bunkern, Verlag Chemie, Weinheim (1968)

[6] Manjunath, K.S., Roberts, A.W.: Wall pressure-feeder load interactions in mass flow hopper/feeder combinations, bulk solids handling 6 (1986) 4, S. 769-775 und 6 (1986) 5, S. 903-911

[7] Schulze, D.: Untersuchungen zur gegenseitigen Beeinflussung von Silo und Austragorgan, Dissertation TU Braunschweig (1991) pdf

[8] Roberts, A.W.: Modern concepts in the design and engineering of bulk solids handling systems, TUNRA Ltd., The Univ. of Newcastle, N.S.W., Australien

[9] Arnold, P.C., McLean, A.G.: Bulk solids: Storage, flow and handling TUNRA Ltd., The Univ. of Newcastle, N.S.W., Roberts, A.W. Australien

[10] Janssen, H.A.: Getreidedruck in Silozellen, Z. Ver. Dt. Ing. 39 (1895), S. 1045-1049

[11] Koenen, M.: Berechnung des Seiten- und Bodendrucks in Silozellen, Centralblatt der Bauverwaltung 16 (1896), S. 446-449

[12] Jenike, A.W.: Gravity flow of bulk solids, Bulletin No 108, Utah Eng. Exp. Station, Univ. of Utah, Salt Lake City, 1961

[13] Walker, D.M.: An approximate theory for pressures and arching in hoppers, Chem. Eng. Sci. 21 (1966), S. 975-997

[14] Walker, D.M.: A basis for bunker design, Powder Technology 1 (1967), S. 228-236

[15] Walters, J.K.: A theoretical analysis of stresses in silos with vertical walls, Chem. Eng. Sci. 28 (1973), S. 13-21

[16] Walters, J.K.: A theoretical analysis of stresses in axially-symmetric hoppers and bunkers, Chem. Eng. Sci. 28 (1973), S. 779-789

[17] Enstad, G.G.: A novel theory on the arching and doming in mass flow hoppers, Dissertation, Chr. Michelsen Inst., Bergen, Norwegen (1981)

[18] Benink, E.J.: Flow and stress analysis of cohesionless bulk materials in silos related to codes, Dissertation, Universität Twente, Enschede, Niederlande (1989)

[19] Motzkus, U.: Belastung von Siloböden und Auslauftrichtern durch körnige Schüttgüter, Dissertation TU Braunschweig (1974)

[20] Häußler, U.: Geschwindigkeits- und Spannungsfelder beim Entleeren von Silozellen, Dissertation Univ. Karlsruhe (1984)

[21] Rombach, G., Eibl., J.: Consistent modelling of filling and discharging processes in silos, Preprints "Silos - Forschung und Praxis", Karlsruhe (1988), S. 1-15

[22] Rombach, G.: Schüttguteinwirkungen auf Silozellen - Exzentrische Entleerung, Dissertation Univ. Karlsruhe (1991)

[23] AS 3774-1990 Loads on bulk solids containers, Australian Standard, 1987

[24] BMHB Draft code of practice for the design of silos, bins, bunkers and hoppers, British Material Handling Board (1985)

[25] Hampe, E.: Silos, Band 1 (Grundlagen), VEB Verlag für Bauwesen, Berlin 1987

[26] Pieper, E., Wenzel, F.: Druckverhältnisse in Silozellen, Verlag Wilhelm Ernst & Sohn, Berlin 1964

[27] Wolf, K.: Der Anfangsschlag und andere Belastungsgrößen im Silo, Diss. TU Braunschweig (1984)

[28] Kézdi, A.: Erddrucktheorien, Springer Verlag Berlin 1962

[29] Jenike, A.W.: Storage and flow of solids, Bulletin No 123, Utah Eng. Exp. Station, Univ. of Utah, Salt Lake City, 1964 (revised edition 1970)

[30] ISO TC98/SC3/WG5: Loads due to bulk materials (Draft), Karlsruhe, Sept. 1990

[31] Zachary, L.W., Lohnes, R.A.: A confined compression test for bulk solids, Proc. 13th Annual Powder & Bulk Solids Conf., May 1988, Rosemont, IL, USA

[32] Nielsen, J., Kolymbas, D.: Properties of granular media relevant for silo loads, Preprints "Silos - Forschung und Praxis", Karlsruhe (1988), S. 119-132

[33] Kwade, A. , Schulze, D., Schwedes, J.: Die direkte Messung des Horizontallastverhältnisses Teil 1 und 2, Beton- und Stahlbetonbau 89 (1994) 3, S. 58-63 und 89 (1994) 4, S.117-119

[34] Kwade, A., Schulze, D., Schwedes, J.: Determination of the Stress Ratio in Uniaxial Compression Tests Part 1 and 2, Powder Handling & Processing 6 (1994) 1, S.61-65 und 6 (1994) 2, S.199-203

[35] Jenike, A.W., Johanson, J.R., Carson, J.W.: Bin loads - Part 2 and 3, Journ. of Eng. for Industry, Trans. ASME, Series B, Vol.95, No 1, Feb. 1973, S.1-12

[36] Stiglat, K.: Statisch-konstruktive Bemessung von Silos, Preprints der VDI-GVC-Tagung "Agglomerations- und Schüttguttechnik", Baden-Baden (1991), S.109-138

[37] Jenike, A.W.: Load Assumptions and distributions in silo design, Conf. on construction of concrete silos, Oslo, Norwegen, Januar 1977

[38] Van Zanten, D.C., Mooij, A.: Bunker Design, Part 2: Wall pressures in mass flow, Journ. of Eng. for Industry, Trans. ASME, Nov. 1977, S.814-818

[39] Frese, B.: Druckverhältnisse in zylindrischen Silozellen, Dissertation, TU Braunschweig (1977)

[40] McLean, A.G.: Initial stress fields in converging channels, Bulk Solids Handling 5 (1985) 2, S. 49-54

[41] Arnold, P.C., McLean, A.G.: An analytical solution for the stress function at the wall of a converging channel, Powder Technology 13 (1976), S. 279-281

[42] Schulze, D.: The prediction of initial stresses in hoppers, Bulk Solids Handling 14 (1994) 3, S. 497-503

[43] Schulze, D., Schwedes, J.: An examination of initial stresses in hoppers, Chem. Engng. Sci. 49 (1994) 13, S. 2047-2058

[44] Schulze, D.: Silo Stress Tool (SSTOOL) zur Abschätzung von Spannungen in Behältern und Silos, Download von www.dietmar-schulze.de (1999)

[45] DIN 1055 Teil 6: Lasten in Silozellen, Deutsche Norm (1987)


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Last updated on May 5, 2011.